Question

【题目】设椭圆（）的左右焦点分别为，椭圆的上顶点为点，点为椭圆上一点，且.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若，过点的直线交椭圆于两点，求线段的中点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

利用向量的坐标表示及运算表示出点坐标,代入椭圆的方程即可求解;

由知,结合求出椭圆的方程，分两种情况线段在轴上和线段不在轴上求解点，当线段不在轴上, 设直线的方程为，，，代入椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式,消去参数即可.

（1） 设（），，，

所以，得

，即，

又∵（）在椭圆上，

∴，得，即椭圆的离心率为.

（2） 由（1）知，.又∵，，

解得，，∴椭圆的方程为.

当线段在轴上时，线段的中点为坐标原点（0，0）.

当线段不在轴上时，设直线的方程为，，，

将直线的方程为代入椭圆方程中，得.

∵点在椭圆内部，∴，，则，

∴点的坐标满足，，消去得，（）.

综上所述，点的轨迹方程为.