Question

【题目】已知椭圆的中心为原点，焦点为，离心率为，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点.

（1）若为线段的中点，求直线的方程.

（2）若点是直线上一点，点在椭圆上，且满足，设直线与直线的斜率分别为，，问是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）的值是定值，且值为

【解析】

（1）设椭圆的半焦距为，根据题意可得，解得，得到椭圆的方程为.设，.易知，由于点，都在椭圆上，得到，两式相减得到，再根据为线段的中点求解.

（2）由（1）可知，直线，点.设点，，根据，得.，再代入求解.

（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得.

故椭圆的方程为.

设，.易知，

由于点，都在椭圆上，所以，

所以.

因为为线段的中点，

所以.

故直线的方程为，即.

（2）由（1）可知，直线，点.

设点，，

易知.因为，

所以，得.

因为点在椭圆上，所以，即.

所以，

所以的值是定值，且值为.