【题目】如图,在底面是菱形的四棱锥中,E为CD中点,,,已知.
(1)证明:;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)要证明线线垂直,需线证明线面垂直,由条件可证明,并且根据边长可证明可知AB,BP,AP三边适合勾股定理,则AB⊥BP,这样有AB⊥面APE,可证明线线垂直;
(2)以中点为坐标原点,为轴,为轴,作垂直于平面,
利用几何关系求各得坐标,并求平面和平面的法向量,利用法向量求二面角的余弦值,再求正弦值.
(1)连结AE,由于E是CD中点,且∠ADC=60°,故AE⊥AB,
又有,而,,
故可知AB,BP,AP三边适合勾股定理,则AB⊥BP,
那么有AB⊥面APE,而,故.
(2)如图建系,其中O是AD中点,易知,,,
对于P的坐标,易知,有,记P在面ABCD上的投影为H,
,
可得,,即.
有,,
可求得平面APE的法向量(不唯一),
同理可求得平面BPE的法向量,
很显然该二面角的余弦值的绝对值为,那么它的正弦值为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某小学举办“父母养育我,我报父母恩”的活动,对六个年级(一年级到六年级的年级代码分别为1,2…,6)的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计,绘制得到下面的散点图.
(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于x的回归方程,并据此预计该校学生升入中学的第一年(年级代码为7)给父母洗脚的百分比.
附注:参考数据:
参考公式:相关系数,若r>0.95,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为= ,.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某大学开学期间,该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手,该快餐店提供了两种日工资结算方案:方案规定每日底薪100元,外卖业务每完成一单提成2元;方案规定每日底薪150元,外卖业务的前54单没有提成,从第55单开始,每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取100天的数据,将样本数据分为七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)随机选取一天,估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率;
(2)从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案的概率为,选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘,四人选择日工资方案相互独立,求至少有两名骑手选择方案的概率,
(3)若仅从人日均收入的角度考虑,请你为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.
(1)完成下列列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;
生二孩 | 不生二孩 | 合计 | |
头胎为女孩 | 60 | ||
头胎为男孩 | |||
合计 | 200 |
(2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户,进一步了解情况,在抽取的7户中再随机抽取4户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数的分布列及数学期望.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中).
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【题目】已知椭圆的中心为原点,焦点为,离心率为,不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于,两点.
(1)若为线段的中点,求直线的方程.
(2)若点是直线上一点,点在椭圆上,且满足,设直线与直线的斜率分别为,,问是否为定值?若是,请求出的值;若不是,请说明理由.
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