Question

2．已知函数f（x）=4sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）-1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用周期公式即可得解．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为13分）
解：（1）∵f（x）=4sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）-1=2sinx（$\sqrt{3}$cosx+sinx）-1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），…4分
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}$=π…7分
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）_max=2，…9分
当x=0时，f（x）_min=-1，…13分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角函数周期公式的综合应用，属于基础题．