Question

P点是△ABC外一点，PA⊥平面ABC，PA=4cm，AC=3cm，∠ACB=150°．
求：（1）P到直线BC的距离；
（2）两条异面直线PA和BC的距离；
（3）当∠CBA=θ时，C到平面PAB的距离（用θ表示）．

Answer 1

解：（1）过A作AD⊥BC，垂足为D，连接PD，则
∵PA⊥平面ABC
∴PD⊥BC
∴PD表示P到直线BC的距离
∵AC=3cm，∠ACB=150°．
∴
∴
∴P到直线BC的距离为；
（2）∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AD
∵AD⊥BC
∴两条异面直线PA和BC的公垂线为AD
∵
∴两条异面直线PA和BC的距离为；
（3）作CE⊥AB，垂足为E，则
∵PA⊥平面ABC
∴平面PAB⊥平面ABC
∵CE⊥AB
∴CE⊥平面PAB
∴CE 为C到平面PAB的距离
在三角形ACE中，∵∠ACB=150°，∠CBA=θ
∴∠CAE=30°-θ
∴CE=3sin（30°-θ ）
∴C到平面PAB的距离 为3sin（30°-θ）
分析：（1）过A作AD⊥BC，垂足为D，连接PD，则根据PA⊥平面ABC，可知PD⊥BC，从而PD表示P到直线BC的距离
（2）根据PA⊥平面ABC，AD⊥BC，可知两条异面直线PA和BC的公垂线为AD，从而可求两条异面直线PA和BC的距离；
（3）作CE⊥AB，垂足为E，则CE 为C到平面PAB的距离，在三角形ACE中，可求C到平面PAB的距离．
点评：本题以线面垂足为载体，考查点线、线线、点面距离，属于基础题．