Question

在△ABC中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，，若（O是△ABC的外心），则x₁+x₂的值为________．

Answer 1

分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ₁和λ₂ 的值．
解答：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （2，0），C（-，）．
∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线 m：x=1 上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（-，），AC的斜率为-3，∴中垂线n的方程为 y-=（x+）．
把直线 m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，），由条件 =，
得（1， ）=x₁ （2，0）+x₂ （-，）=（2x₁-x₂， x₂ ），
∴2x₁-x₂=1， x₂=，∴x₁ =，x₂ =，∴x₁+x₂=，
故答案为：．

点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．