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    设点An（xn，0），Pn（xn，2n-1）和抛物线Cn：y=x2+anx+bn（n∈N*），其中an=-2-4n-
    12n-1
    ，xn由以下方法得到：x1=1，点P2（x2，2）在抛物线C1：y=x2+a1x+b1上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+anx+bn上，点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离．
    （Ⅰ）求x2及C1的方程．
    （Ⅱ）证明{xn}是等差数列．
    分析：本题考查数列与解析几何的综合问题，涉及了抛物线方程、直线与抛物线的关系、导数及其几何意义、求曲线方程、证明等差数列、数学归纳法等多方面的知识和方法．
    对于（Ⅰ）的求解，要充分利用点在抛物线上则满足抛物线方程，结合两点间的距离公式用点p（x，y）表示|A1P|，然后借助于导数，利用f'（x2）=0建立方程，最终使问题得到解决．
    对于（Ⅱ）类比（Ⅰ），首先利用点P（x，y）是Cn上任意一点，得到|AnP|=
    		(x-xn)2+y2
    =
    		(x-xn)2+(x2+anx+bn)2
    ，然后利用导数思想获得xn+1-xn）+2（xn+12+anx+bn）（2xn+1+an）=0并由此通过数学归纳法证明出xn=2n-1，也即证明了{xn}是等差数列．
    解答：解：（Ⅰ）由题意得A1（1，0），C1：y=x2-7x+b1，
    设点P（x，y）是C1上任意一点，
    则|A1P|=
    		(x-1)2+y2
    =
    		(x-1)2+(x2-7x+b1)2

    令f（x）=（x-1）2+（x2-7x+b1）2
    则f'（x）=2（x-1）+2（x2-7x+b1）（2x-7）
    由题意得f'（x2）=0，
    即2（x2-1）+2（x22-7x+b1）（2x2-7）=0
    又P2（x2，2）在C1上，∴2=x22-7x2+b1
    解得x2=3，b1=14
    故C1的方程为y=x2-7x+14
    （Ⅱ）设点P（x，y）是Cn上任意一点，
    则|AnP|=
    		(x-xn)2+y2
    =
    		(x-xn)2+(x2+anx+bn)2

    令g（x）=（x-xn）2+（x2+anx+bn）2
    则g'（x）=2（x-xn）+2（x2+anx+bn）（2x+an）
    由题意得g'（xn+1）=0
    即2（xn+1-xn）+2（xn+12+anx+bn）（2xn+1+an）=0
    又∵2n=xn+1，∴（xn+1-xn）+2n（2xn+1+an）=0（n≥1），
    即（1+2n+1）xn+1-xn+2nan=0??（*）
    下面用数学归纳法证明xn=2n-1，
    ①当n=1时，x1=1，等式成立；
    ②假设当n=k时，等式成立，即xk=2k-1，
    则当n=k+1时，由（*）知（1+2k+1）xk+1-xk+2kak=0，
    又ak=2-4k-
    1
    2k-1
    ，∴xk+1=
    xk-2kak
    1+2k+1
    =2k+1，
    即n=k+1时，等式成立．
    由①②知，等式对n∈N*成立，
    故{xn}是等差数列．
    点评：本题的综合性极强，是多种知识和方法的汇总，处理起来难度较大，不仅需要具备综合运用知识的能力，还要运算准确，不走弯路，像这样的题目，在山东省的近几年高考中少见，不是所有人所追求，只提供给部分数学功底强劲的同学研究，希望量力而行．
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    设点列An（xn，0）、Pn（xn，2n-1）和抛物线列Cn：y=x2+
    x
    2n
    +an    （n∈N*），xn由以下方法得到：点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+
    x
    2n
    +an    上，点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离；试写出xn+1和xn之间的递推关系式为xn+1=
     
    （用xn表示）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，
    BC
    的大小是
    AB
    大小的k倍，
    BC
    的方向由
    AB
    的方向逆时针旋转θ角得到，则我们称
    AB
    经过一次（θ，k）延伸得到
    BC
    ． 已知
    OA1
    =(1，0)
    （1）向量
    OA1
    经过2次(
    π
    2
    ，
    1
    2
    )    延伸，分别得到向量
    A1A2
    、
    A2A3
    ，求
    A1A2
    、
    A2A3
    的坐标．
    （2）向量
    OA1
    经过n-1次(
    π
    2
    ，
    1
    2
    )    延伸得到的最后一个向量
    为
    An-1An
    ，（n∈N*，n＞1），设点An（xn，yn），求An的极限位置A(
    lim
    n→∞
    xn，
    lim
    n→∞
    yn)
    （3）向量
    OA1
    经过2次（θ，k）延伸得到向量
    A1A2
    、
    A2A3
    ，其中k＞0，θ∈（0，π），若
    OA1
    、
    A1A2
    、
    A2A3
    恰能够构成一个三角形（即A3与O重合），求θ，k的值．

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    设点An（xn，0），Pn（xn，2n-1）和抛物线Cn：y=x2+anx+bn（n∈N*），其中an=-2-4n-，xn由以下方法得到：x1=1，点P2（x2，2）在抛物线C1：y=x2+a1x+b1上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+anx+bn上，点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离．
    （Ⅰ）求x2及C1的方程．
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    科目：高中数学 来源：浙江 题型：解答题

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    1
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