Question

已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y),

（1）求证：f(x)是奇函数.

（2）若f(-3)=a，试用a表示f(24).

（3）如果x＞0时，f(x)＞0且f(1)＜0，试求f(x)在区间［-2，6］上的最大值与最小值.

Answer 1

解析：（1）令x=y=0，得f(0)=0，再令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x).?

∴f(x)=f(-x).?

∴f(x)为奇函数.?

（2）由f(-3)=a,得f(3)=-f(-3)=-a.?

f(24)=f()=8f(3)=-8f(-3)=-8a.

（3）设x₁＜x₂,则f(x₂)=f(x₁+x₂-x₁)=f(x₁)+f(x₂-x₁)＜f(x₁)，

∵x₂-x₁＞0,f(x₂-x₁)＜0,

∴f(x)在区间［-2，6］上是减函数.

∴f(x) _max=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,

f(x) _min=f(6)=6f(1)=-3.

答案：（1）f(x)=f(-x),

∴f(x)为奇函数.

（2）-8a.

（3）f(x) _max=1,f(x) _min=-3.