Question

已知函数f(x)=.

(1)当a＞0时，解关于x的不等式f(x)＜0；

(2)若不等式f(x)≥f(1)对x∈R恒成立，求f(x)的单调递减区间．

Answer 1

解：（1）f(x)＜0即＜0

∵a＞0,即＜0 

当a＞1时，  原不等式解集为

{x＜x-} 

当a=1时，  原不等式解集为

{x|x＜-1} 

当0＜a＜1时，  原不等式解集为

 

（将“a=1”并入“a＞1”中不扣分）

（2）法Ⅰ：由题意知f(1)是f(x)的最小值，又f(1)不可能是端点值

则f(1)应是f(x)的一个极小值，即(1)=0

(x)=

由(1)=0得-a+2-a²=0

∴a=-2或a=1 

当a=1时  f(x)=无极值

∴a=1舍去  （8分）

当a=-2时  f(x)=且

(x)=

由(x)=0  即  x²+x-2=0

得x₁=1,x₂=-2 

列表

x	(-∞,2)	-2	(-2,1)	1	(1,+∞)
(x)	+	0	-	0	+
f(x)		极大值		极小值-1

由上表知当a=-2时，f(1)是f(x)的极小值

且f(x)的单调递减区间是[-2,1] 

法Ⅱ: ∵f(1)=-1由≥-1恒成立

有

=≥0恒成立

必有   即a=-2 

以下同法Ⅰ.