【题目】已知椭圆,记
为与原点距离等于
的全体直线所成的集合.问:是否存在常数
,使得对任意的直线
,均存在
、
,
、
分别过
与椭圆
的交点
、
,且有
?并说明理由.
【答案】
【解析】
假设存在满足题设条件的常数.取
为特殊直线:
,且与椭圆
交于
、
两点.
作以原点为圆心、
为半径的圆
与
轴的正半轴交于点
.显然,圆
与直线
切于点
,且
.
依题意,存在直线、
,分别过点
、
,且与圆
相切.设切点分别为
、
.
则、
分别垂直相互平行的直线
、
.故
为圆
的直径.
从而,是梯形
的中位线.
由,知
,
.
因此,点,且
,
.
又点在椭圆
上,由假设知椭圆方程为
.
下面证明:即为所求.
先证明:若,且与椭圆
交于点
、
,则
.
设直线.
则原点到
的距离为
.
故.
将直线的方程代入椭圆方程得
.
设,
.
则由韦达定理得,
.故
,即
.
易证,若直线的斜率不存在,则
.
假设、
分别与椭圆
交于点
与
、
与
.则
,
,
,且
,
.
故,即
.
综上,存在唯一满足题意.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知三个内角
所对的边分别是
,若
.
(1)求角;
(2)若的外接圆半径为2,求
周长的最大值.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)由正弦定理将边角关系化为边的关系,再根据余弦定理求角
,(2)先根据正弦定理求边,用角表示周长,根据两角和正弦公式以及配角公式化为基本三角函数,最后根据正弦函数性质求最大值.
试题解析:(1)由正弦定理得,
∴,∴
,即
因为,则
.
(2)由正弦定理
∴,
,
,
∴周长
∵,∴
∴当即
时
∴当时,
周长的最大值为
.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】经调查,3个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:
其中: ,
,
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;(
的值精确到0.01)
(3)若规定,一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的1.06~1.12倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的1.12~1.20倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的1.20倍及以上,则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人,属于哪类人群?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地统计局调查了10000名居民的月收入,并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示。
(1)求居民月收入在[3000,3500)内的频率;
(2)根据频率分布直方图求出样本数据的中位数;
(3)为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析,则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某县大润发超市为了惠顾新老顾客,决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦,迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案,该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下:将一个的正方体各面均涂上红色,再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后,从中任取两个小正方体,记它们的着色面数之和为
,记抽奖中奖的礼金为
.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)凡是元旦当天在超市购买物品的顾客,均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6,设为一等奖,获得价值50元礼品;记抽取的两个小正方体着色面数之和为5,设为二等奖,获得价值30元礼品;记抽取的两个小正方体着色面数之和为4,设为三等奖,获得价值10元礼品,其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在工业生产中,对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件,现有一边长为3(单位:米)的正三角形钢板(如图),沿平行于边的直线
将
剪去,得到所需的梯形钢材
,记这个梯形钢板的周长为
(单位:米),面积为
(单位:平方米).
(1)求梯形的面积
关于它的周长
的函数关系式;
(2)若在生产中,梯形的面积与周长之比(即
)达到最大值时,零件才能符合使用要求,试确定这个梯形的周长
为多时,该零件才可以在生产中使用?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】半期考试后,班长小王统计了50名同学的数学成绩,绘制频率分布直方图如图所示.
根据频率分布直方图,估计这50名同学的数学平均成绩;
用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名,再在抽取的这6名同学中任选2名,求这两名同学数学成绩均在
中的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,其图象的相邻两条对称轴之间的距离为
.
(1)求函数的解析式及对称中心;
(2)将函数的图象向左平移
个单位长度,再向上平移
个单位长度得到函数
的图象,若关于x的方程
在区间
上有两个不相等的实根,求实数m的取值范围.
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