Question

已知点A（-2，2）及点B（-8，0），试在直线l：2x-y+1=0上，求出符合下列条件的点P：
（1）使|PA|+|PB|为最小；
（2）使|PA|²+|PB|²为最小．

Answer 1

分析：（1））设A关于直线l的对称点A′坐标为（x₀，y₀），求出A′，推出A′B的直线方程，然后求出P使|PA|+|PB|为最小；
（2）设动点P的坐标为（t，2t+1），列出|PA|²+|PB|²，通过二次函数求出最小值时P的坐标．

解答：解：（1）使|PA|+|PB|为最小，只需求A关于直线l的对称点A′与B的距离最小．
设A关于直线l的对称点A′坐标为（x₀，y₀），
则

y0-2 x0+2 •2=-1 x0-2 2 ×2- y0+2 2 +1=0

解得

x0=2 y0=0

，
即A′（2，0）
求得A′B的直线方程为：y=0．
求得点P（-

1

2

，0）．…（7分）
（2）设动点P的坐标为（t，2t+1），
则|PA|²+|PB|²=（t+2）²+（2t-1）²+（t+8）²+（2t+1）²=10t²+20t+70
当t=-1时，取得最小值，即P（-1，-1）…（14分）

点评：本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，点与直线的位置关系的应用，二次函数的最值的求法，考查计算能力，转化思想．