Question

已知点A（-2，2）和点B（-3，-1），在直线l：y=2x-1上找一点P，使：
（1）|PA|+|PB|最小；
（2）|PA|²+|PB|²最小．

Answer 1

分析：（1）求A关于直线l：y=2x-1的对称点的坐标为A′的坐标，可得A′B的方程，联立方程组可得，交点的坐标，可得答案；（2）由题意可设点P（t，2t-1），
则|PA|²+|PB|²=10t²-2t+22，由二次函数的知识可得结论．

解答：解：（1）设A关于直线l：y=2x-1的对称点的坐标为A′（a，b），
则

b-2 a-(-2) =- 1 2 b+2 2 =2• a-2 2 -1

，化简可得

a+2b-2=0 b=2a-8

，
解之可得

a= 18 5 b=- 4 5

，故A′（

18

5

，-

4

5

），
所以A′B的方程为x-33y-30=0，
联立

x-33y-30=0 y=2x-1

，解之可得

x= 3 65 y=- 59 65

，
故当P（

3

65

，-

59

65

）使|PA|+|PB|最小；
（2）由题意可设点P（t，2t-1），
则|PA|²+|PB|²=（t+2）²+（2t-1-2）²+（t+3）²+（2t-1+1）²
=10t²-2t+22，由二次函数的知识可知
当t=-

-2

2×10

=

1

10

时，函数取最小值，
此时P（

1

10

，-

4

5

）

点评：本题考查直线关于点，关于直线的对称问题，涉及二次函数的最值的应用，属中档题．