Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-m|+|x+6|（m∈R）
（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）≤12的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当m=5时，f（x）≤12，即|x-5|+|x+6|≤12．由绝对值的意义可得

11

2

、-

13

2

对应点到5和-6对应点的距离之和正好等于12，从而求得不等式f（x）≤12的解集．
（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求得f（x）的最小值为|m+6|，由题意得|m+6|≥7，由此求得m的范围．

解答：解：（Ⅰ）当m=5时，f（x）≤12，即|x-5|+|x+6|≤12．
由于|x-5|+|x+6|表示数轴上的x对应点到5和-6对应点的距离之和，而

11

2

、-

13

2

对应点到5和-6对应点的距离之和正好等于12，
故不等式f（x）≤12的解集为{x|-

13

2

≤x≤

11

2

}．
（Ⅱ）f（x）=|x-m|+|x+6|≥|（x-m）-（x+6）|=|m+6|，由题意得|m+6|≥7，
故有m+6≥7，或m+6≤-7，解得m≥1或m≤-13，故m的取值范（-∞，-13]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．