Question

下列四个命题中，正确的是（　　）

• A．已知函数f（a）=∫₀^asinxdx，则f[f(

  π

  2

  )]=1-cos1
• B．设回归直线方程为

  y

  =2-2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位
• C．已知ξ服从正态分布N（0，σ²），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2
• D．对于命题p：?x₀∈R，x₀²+x₀+1＜0；则?p：?x∈R，x²+x+1＞0

Answer 1

分析：对于A，利用定积分公式计算即可；对于B：回归方程

?

y

=2-2.5x，变量x增加一个单位时，变量

?

y

平均变化[2-2.5（x+1）]-（2-2.5x），及变量

?

y

平均减少2.5个单位，得到结果．对于C：利用正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．D中，本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可．

解答：解：对于A：∵f（a）=∫₀^asinxdx=（-cosx）|₀^a=1-cosa，
∴f(

π

2

)=1，f(1)=1-cos1，即f[f(

π

2

)]=1-cos1，
∴（A）正确．
对于B：回归方程

?

y

=2-2.5x，变量x增加一个单位时，
变量

?

y

平均变化[2-2.5（x+1）]-（2-2.5x）=-2.5
∴变量

?

y

平均减少2.5个单位，故错．
对于C：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ²）可知正态密度曲线关于y轴对称，
而P（-2≤x≤0）=0.4，
∴P（-2≤x≤2）=0.8
则P（ξ＞2）=

1

2

（1-P（-2≤x≤2））=0.1，故错；
对于选项D：∵命题“存在x₀∈R，使x₀²+x₀+1＜0”是一个特称命题
∴命题“存在x₀∈R，使x₀²+x₀+1＜0”的否定是“对任意x₀∈R，使x₀²+x₀+1＜0≥0”．故D错．
故选A．

点评：本小题主要考查定积分、正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、回归分析的初步应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．