Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{3A}{2}$，sin$\frac{3A}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{A}{2}$，sin$\frac{A}{2}$）．
（1）若|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，求角A的大小；若函数f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象向右平移A个单位后对应的函数为g（x），求g（x）的图象离原点最近的对称中心；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-2a|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|的最小值是-$\frac{3}{2}$，试求a的值．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标求得斜率的模，再由|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，两边平方后可得A的值．然后利用函数的图象平移求得g（x）则g（x）的图象离原点最近的对称中心可求；
（2）求出|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|，结合（1）中求出的$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$可得f（x），换元后利用二次函数的最小值为-$\frac{3}{2}$求a的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{3A}{2}$，sin$\frac{3A}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{A}{2}$，sin$\frac{A}{2}$），
∴$|\overrightarrow{m}|=|\overrightarrow{n}|=1$，
由|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，得$|\overrightarrow{m}{|}^{2}+2\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+|\overrightarrow{n}{|}^{2}=3$，即$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}$，
∴$cos\frac{3A}{2}cos\frac{A}{2}+sin\frac{3A}{2}sin\frac{A}{2}=cosA=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$．
函数f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后对应的函数为g（x），
则g（x）=$5sin[2（x-\frac{π}{3}）-\frac{π}{6}]=5sin（2x-\frac{5π}{6}）$，
由$2x-\frac{5π}{6}=kπ$，得$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
取k=-1，得图象离原点最近的对称中心为（-$\frac{π}{12}，0$）；
（2）$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cosA，|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2+2cosA}=2cos\frac{A}{2}$，
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-2a|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=cosA-2acos$\frac{A}{2}$=$2co{s}^{2}\frac{A}{2}-2acos\frac{A}{2}-1$．
令t=cos$\frac{A}{2}$，
∵0＜A＜π，∴0$＜\frac{A}{2}＜\frac{π}{2}$，则t∈（0，1），
∴函数f（x）化为g（t）=2t²-2at-1（0＜t＜1），
对称轴方程为t=$\frac{a}{2}$，
当0$＜\frac{a}{2}＜1$，即0＜a＜2时，g（t）有最小值为$2×（\frac{a}{2}）^{2}-2a×\frac{a}{2}-1=-\frac{3}{2}$，
解得：a=1．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数的图象和性质，训练了学生的计算能力，是中档题．