Question

5．已知函数y=log_a（x²+2x+k），其中a＞0且a≠1
（1）若定义域为R，求k的取值范围；
（2）若值域为R，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把函数y=log_a（x²+2x+k）的定义域为R，转化为对任意实数x，x²+2x+k＞0恒成立，由判别式小于0求得k的范围；
（2）函数y=log_a（x²+2x+k）的值域为R，转化为x²+2x+k能够取到大于0的所有实数，由判别式大于等于0求得k的范围．

解答 解：（1）函数y=log_a（x²+2x+k）的定义域为R，
说明对任意实数x，x²+2x+k＞0恒成立，则
△=2²-4k＜0，解得k＞1．
∴k的取值范围是（1，+∞）；
（2）函数y=log_a（x²+2x+k）的值域为R，
说明x²+2x+k能够取到大于0的所有实数，则
△=2²-4k≥0，解得k≤1．
∴k的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查复合函数的单调性，关键是把原问题转化为真数上二次三项式的取值问题，是中档题．