Question

16．已知函数f（x）=$\frac{2x}{x+1}$，点A（1，0），点P是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，求AP的最小值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 设P（x，$\frac{2x}{x+1}$）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，利用两点之间距离公式，可得AP的表达式，利用导数法，可得答案．

解答 解：设P（x，$\frac{2x}{x+1}$）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，
则PA=$\sqrt{（x-1）^{2}+（\frac{2x}{x+1}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{（{x}^{2}+1）^{2}}{（x+1）^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{-x-1}$，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{-x-1}$，则g′（x）=$\frac{{-{x}^{2}-2x+1}^{\;}}{{（x+1）}^{2}}$，
令g′（x）=0，解得：x=-1-$\sqrt{2}$，或x=-1+$\sqrt{2}$（舍去），
当x＜-1-$\sqrt{2}$时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当-1-$\sqrt{2}$＜x＜-1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
故当x=-1-$\sqrt{2}$，即P点坐标为（-1-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$）时，
AP取最小值2$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，导数法求函数的最值，难度中档．