Question

4．写出下列函数的定义域、值域、单调增区间．
（1）y=0.7${\;}^{1+2x-{x}^{2}}$；
（2）y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}$．

Answer 1

分析 根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）y=0.7${\;}^{1+2x-{x}^{2}}$的定义域为（-∞，+∞），
设t=1+2x-x²，则t=-（x-1）²+2≤2，
∴y=0.7^t≥0.7²=0.49．即函数的值域为[0.49，+∞），
∵y=0.7^t为减函数，
∴要求函数的单调递增区间，
则等价为求函数t=1+2x-x²的递减区间，
∵函数t=1+2x-x²的单调递减区间为[1，+∞），
∴函数y=0.7${\;}^{1+2x-{x}^{2}}$的递增区间为[1，+∞）．
（2）由1-x²≥0得-1≤x≤1，
即y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}$的定义域为[-1，1]．
设t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，则0≤t≤1，
则y=（$\frac{1}{3}$）^t∈[$\frac{1}{3}$，1]，即函数的值域为[$\frac{1}{3}$，1]，
∵y=（$\frac{1}{3}$）^t为减函数，
∴要求函数的单调递增区间，
则等价为求函数t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的递减区间，
∵函数t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的单调递减区间为[0，1]，
∴函数y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}$的递增区间为[0，1]．

点评 本题主要考查函数定义域，值域，单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．