Question

已知函数定义在(―1，1)上，对于任意的，有，且当时，。

(1)验证函数是否满足这些条件；

(2)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明；

(3)若，求方程的解。

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）奇函数，，证明详见解析；（3）x=

【解析】

试题分析：(1)只要把x、y、代入函数解析式化简即可得：，然后验证定义域范围符合即可；

（2）可以根据函数的奇偶性和单调性的定义，并利用赋值法，变量代换的方法得到f(－x)=－f(x)为奇函数和、时为减函数；

（3）利用奇函数和，得到和，代入已知方程即可解决.

试题解析：（1） ∴－1<x<1即定义域为(－1,1)

∴成立

4分

（2）令x=y=0，则f(0)=0，令y=－x则f(x)+f(－x)=0

∴f(－x)=－f(x)为奇函数

任取、

8分

（3）∵f(x)为奇函数 ∴

由

∵f(x)为(－1，1)上单调函数 13分

考点：函数性质的综合应用.