Question

如图，在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，底面边长为2，则此三棱锥的体积是（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  5

  3

• C、

  5

• D、

  15

  3

Answer 1

分析：设D为BC的中点，连接PD，交MN于E，连接AE，利用平面AMN⊥平面PBC的性质，可证AE⊥PD，通过证三角形全等的方法，求得侧棱长为

3

，再利用三棱锥的换底性求体积．

解答：解：设D为BC中点，连接PD，交MN于E，连接AE，则 PD⊥BC，PD⊥MN，
又平面AMN⊥平面PBC，平面AMN∩平面PBC=MN，∴PD⊥AE，
又BC⊥AD，BC⊥PD，PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴BC⊥AE
∴AE⊥平面PBC，
则 PE⊥面AMN，PE⊥AE．设底面边长为2，侧棱长为a，
∵M、N分别是侧棱PB、PC的中点，∴E为PD的中点，
∴△ADE与△APE全等，∴PA=AD=

3

，
PE=

1

2

PD=

1

2

3-1

=

2

2

，AE=

3- 1 2

=

10

2

∴V_P-ABC=V_A-PBC=

1

3

×S_△PBC×AE=

1

3

×

1

2

×2×

2

×

10

2

=

5

3

．

点评：本题考查了面面垂直的性质，正棱锥的性质及应用，解题的关键是利用三角形全等求侧棱长．