Question

如图，在正三棱锥P-ABC中，点O为底面中心，点E在PA上，且AE=2EP
（1）求证：OE∥平面PBC
（2）若OE⊥PA，求二面角P-AB-C的大小
（3）在（2）的条件下，若AB=3，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）连接AO延长交BC于M，连接PM，O是三角形的重心，可知AO=2OM，又AE=2EP，由三角形中位线可知OE∥PM，最后由线面平行的判定定理证明．
（2）取AB的中点H，连接CH，PH，由正三棱锥的几何特征，我们可得∠PHO即为二面角P-AB-C的平面角，根据AE=2EP，OE⊥PA，解三角形即可得到二面角P-AB-C的大小；
（3）证得BC⊥平面PAM后，可将三棱锥的体积转化为：三棱锥B-PAM和三棱锥C-PAM体积之和．进而得到答案．

解答：解：（1）证明：连接Ao延长交BC于M，连接PM，O是三角形的重心，
∴AO=2OM，又AE=2EP
∴OE∥PM
∴OE∥平面PBC
（2）取AB的中点H，连接CH，PH，
由正三棱锥的性质，可得PH⊥AB，CH⊥AB，且O在CH上，
∴∠PHO即为二面角P-AB-C的平面角
由OE⊥PA，OE∥PM
∴PA⊥PH，
又PB=PC，AB=AC，M为BC中点
∴BC⊥PM，BC⊥AM
∴BC⊥平面PMA
又∵AP?平面PMA
∴BC⊥AP，
∵PM∩BC=M
∴PA⊥平面PBC
由正三棱锥的三个侧面均为正三角形，
设PA=a
则AB=

2

a，PH=

1

2

AB=

2

2

a，OH=

6

6

a
∴cos∠BHO=

OH

PH

=

3

3

∴二面角P-AB-C的大小为arccos

3

3

（3）由（1）知OE∥PM，OE⊥PA
∴PM⊥PA
在正三棱锥P-ABC中，M为中点
∴AM⊥BC
∴VP-ABC=

1

3

 sPAM•BC=

9 2

8

点评：本题主要考查了二面角的平面角及其求法，直线与平面平行的判定，棱锥的体积，其中常熟掌握立体几何中线面之间的位置关系及判定定理，及体积求解中的转化思想和割补法思想是解答本题的关键．，属中档题