Question

如图，在正三棱锥P-ABC中，M，N分别是侧棱PB、PC上的点，若PM：MB=CN：NP=2：1，且平面AMN⊥平面PBC，则二面角A-BC-P的平面角的余弦值为（　　）

• A．

  2 2

  3

• B．

  6

  3

• C．

  7

  4

• D．

  15

  9

Answer 1

分析：如图所示，过点P作PO⊥平面ABC，垂足为点O，则点O为正三角形ABC的中心，以点O为坐标原点，AO、OP所在直线分别为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
不妨设AB=6，OP=3a．则A(0，-2

3

，0)，B（3，

3

，0），C(-3，

3

，0)，P（0，0，3a）．设平面AMN的法向量为

m

=（x，y，z），则

m • AM =0 m • AN =0

，即可解得

m

．同理可得平面PBC的法向量

n

．利用平面AMN⊥平面PBC，可得

m

•

n

=0，解得a．取平面ABC的法向量为

u

=（0，0，1）．利用cos＜

n

，

u

＞=

n • u

| n | | u |

即可得出．

解答：解：如图所示，过点P作PO⊥平面ABC，垂足为点O，则点O为正三角形ABC的中心，以点O为坐标原点，AO、OP所在直线分别为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
不妨设AB=6，OP=3a．则A(0，-2

3

，0)，B（3，

3

，0），C(-3，

3

，0)，P（0，0，3a）．

PB

=(3，

3

，-3a)，

PC

=(-3，

3

，-3a).

CB

=（6，0，0）．
∵

PM

=

2

3

PB

=(2，

2 3

3

，-2x)，

PN

=

1

3

PC

=(-1，

3

3

，-a)．
∴

OM

=(2，

2 3

3

，a)，

ON

=(-1，

3

3

，2a)．
∴

AM

=(2，

8 3

3

，a)，

AN

=(-1，

7 3

3

，2a)．
设平面AMN的法向量为

m

=（x，y，z），则

m • AM =2x+ 8 3 3 y+az=0 m • AN =-x+ 7 3 3 y+2az=0

，
取y=

3

，解得x=-

9

5

，z=-

22

5a

，可得

m

=(-

9

5

，

3

，-

22

5a

)．
同理可得平面PBC的法向量

n

=(0，

3

，

1

a

)．
∵平面AMN⊥平面PBC，∴

m

•

n

=3-

22

5a2

=0，解得a2=

22

15

．
取平面ABC的法向量为

u

=（0，0，1）．
则cos＜

n

，

u

＞=

n • u

| n | | u |

=

1 a

3+ 1 a2

=

1

3a2+1

=

1

3× 22 15 +1

=

15

9

．
故选D．

点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系、利用平面的法向量的夹角解决空间角问题，属于难题．