Question

已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0），设点A（1，

1

2

）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于B，C两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线BC的方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）分别设点P（x₀，y₀），线段PA的中点M（x，y）．利用中点坐标公式及“代点法”即可得出；
（3）对直线BC的斜率分存在于不存在两种情况讨论，当直线BC的斜率存在时，把直线BC的方程与椭圆的方程联立，解得点B，C的坐标，利用两点间的距离公式即可得出|BC|，再利用点到直线的距离公式即可得出点A到直线BC的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出，再利用导数得出其最值．

解答：解；（1）由题意可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，c为半焦距．
∵右顶点为D（2，0），左焦点为F(-

3

，0)，
∴a=2，c=

3

，b2=a2-c2=22-(

3

)2=1．
∴该椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设点P（x₀，y₀），线段PA的中点M（x，y）．
由中点坐标公式可得

x= x0+1 2 y= y0+ 1 2 2

，解得

x0=2x-1 y0=2y- 1 2

．（*）
∵点P是椭圆上的动点，∴

x 2 0

4

+

y

2 0

=1．
把（*）代人上式可得

(2x-1)2

4

+(2y-

1

2

)2=1，可化为(x-

1

2

)2+

(y- 1 4 )2

1 4

=1．
即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆(x-

1

2

)2+

(y- 1 4 )2

1 4

=1．
（3）①当直线BC的斜率不存在时，可得B（0，-1），C（0，1）．
∴|BC|=2，点A(1，

1

2

)到y轴的距离为1，∴S△ABC=

1

2

×2×1=1；
②当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B（x₁，y₁），C（-x₁，-y₁）（x₁＜0）．
联立

y=kx x2+4y2=4

，化为（1+4k²）x²=4．解得x1=-

2

1+4k2

，
∴y1=-

2k

1+4k2

．
∴|BC|=

4 x 2 1 +4 y 2 1

=2

(- 2 1+4k2 )2+(- 2k 1+4k2 )2

=

4 1+k2

1+4k2

．
又点A到直线BC的距离d=

|k- 1 2 |

1+k2

．
∴S△ABC=

1

2

|BC|×d=

1

2

×

4 1+k2

1+4k2

|k- 1 2 |

1+k2

=

|2k-1|

1+4k2

，
∴

S

2 △ABC

=

(2k-1)2

1+4k2

=1-

4k

1+4k2

，
令f（k）=

4k

1+4k2

，则f′(k)=

-16(k+ 1 2 )(k- 1 2 )

(1+4k2)2

．
令f^′（k）=0，解得k=±

1

2

．列表如下：

又由表格可知：当k=-

1

2

时，函数f（x）取得极小值，即

S

2 △ABC

取得最大值2，即S△ABC=

2

．
而当x→+∞时，f（x）→0，

S

2 △ABC

→1．
综上可得：当k=-

1

2

时，△ABC的面积取得最大值

2

，即S△ABC=

2

．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值．