Question

如图1-1-5,已知M是AB中点,A、B在l的两侧,分别过A、B、M作直线l的垂线,垂足分别为C、D、N.请探讨AC、BD、MN的关系并证明.

图1-1-5(1)

Answer 1

思路分析：假设B、D重合,则图形变为图1-1-5(2).

图1-1-5(2)

∵AC⊥l,MN⊥l,∴MN∥AC.又∵M是中点,

∴N是BC中点,MN是△ABC的中位线.

∴MN=AC.而当B、D不重合时,要么MN=(AC+BD),要么MN=(AC-BD).

通过观察,A、B在l异侧时MN＜AC,因此我们猜想MN=(AC-BD).

下面我们给出猜想的证明.

解:如图1-1-5(1),连结DM并延长交AC于E,

∵AC、MN、BD都垂直于l,

∴AC∥MN∥BD.

又∵M是中点,∴N是CD的中点.

∴MN是△CDE的中位线.

∴MN=EC= (AC-AE).

∵AE∥BD,∴∠A=∠B.

在△AME和△BMD中,

∴MN=(AC-BD).