Question

【题目】已知向量=（4cos2（-），cosx+sinx），=（sinx，cosx-sinx），设f（x）=-1

（1）求满足|f（x）|≤1的实数x的集合；

（2）若函数φ（x）=[f（2x）+tf（x）-tf（-x）]-（1+）在[-，]上的最大值为2，求实数t的值．

Answer 1

【答案】(1) {x|kπ-≤x≤kπ+，k∈Z}.(2) t=-2或6．

【解析】

（1）由向量的数量积的坐标表示和二倍角公式、诱导公式，化简可得，再由正弦函数的图象可得所求集合；

（2）化简，由换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，可得所求最大值，解方程可得所求值．

（1）由题意，向量（4cos2（-），cosx+sinx），（sinx，cosx-sinx），

则f（x）=4sinxcos2（-）+（cosx+sinx）（cosx-sinx）-1

=2sinx（1+cos（x-））+cos2x-sin2x-1=1-cos2x+cos2x+2sinx-1=2sinx，

|f（x）|1，即为2|sinx|1，即- sinx ，

可得kπ- xkπ+，k∈Z，

则满足|f（x）|1的实数x的集合为{x|kπ- xkπ+，k∈Z}；

（2）由题意，函数

=[2sin2x+2tsinx-2tcosx]-（1+），

可令u=sinx-cosx=sin（x-），x∈[-，]，即有x-∈[-，]，

可得u∈[-，1]，

sin2x=1-u2，g（u）=1-u2+ut-1-=-（u-t）2+-t，

当t＞1即t＞2时，g（u）max=g（1）=t-1，由g（1）=2，可得t=6；

当-≤t≤1，即-2≤t≤2时，则g（t）=-t，

由-t=2，解得t=-2（4舍去）；

当t＜-，即t＜-2时，g（u）max=g（-）=-2-t-t，

由-2-t-t=2，可得t=-（舍去）．

综上可得t=-2或6．