【题目】数学家欧拉在1765年提出,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标为
A. (-4,0) B. (-3,-1) C. (-5,0) D. (-4,-2)
【答案】A
【解析】
设点的坐标为C(m,n),由重心公式得到关于m,n的方程,然后利用外心与点B的距离与外心与点C的距离相等得到关于m,n的方程,两方程联立即可确定顶点C的坐标.
设C(m,n),由重心公式,可得△ABC的重心为,
代入欧拉直线有:,
整理得m-n+4=0 ①.
AB的中点为(1,2),kAB==-2,
AB的中垂线方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0,
联立可得:,所以△ABC的外心为(-1,1),
外心与点B的距离:,
外心与点B的距离与外心与点C的距离相等,则:
(m+1)2+(n-1)2=10,整理得m2+n2+2m-2n=8 ②,
联立①②,可得m=-4,n=0或m=0,n=4.
当m=0,n=4时,B,C两点重合,舍去,
当m=-4,n=0时满足题意.
所以点C的坐标为(-4,0).
本题选择A选项.
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【题目】人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分,这是由对应的基因决定的.生物学上已经证明:决定眼皮单双的基因有两种,一种是显性基因(记为),另一种是隐性基因(记为);基因总是成对出现(如、、、),而成对的基因中,只要出现了显性基因,那么这个人就一定是双眼皮(也就是说,“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是”);如果不发生基因突变的话,成对的基因中,一个来自父亲,另一个来自母亲,但父母亲提供基因时都是随机的.有一对夫妻,两人成对的基因都是,不考虑基因突变,求他们的孩子是单眼皮的概率.
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【题目】已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l:y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值.
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【题目】袋中有红、白球各一个,每次任取一个,有放回地摸三次,求基本事件的个数n,写出所有基本事件的全集I,并计算下列事件的概率:
(1)三次颜色恰有两次同色;
(2)三次颜色全相同;
(3)三次摸到的红球多于白球.
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【题目】在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了110人,其中女性50人,男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视,另外20人主要的休闲方式是运动;男性中有20人主要的休闲方式是看电视,另外40人主要的休闲方式是运动.
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表;
(2)判断性别与休闲方式是否有关系.
下面临界值表供参考:
P(K2≥k) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(参考公式:K2=)
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【题目】如图,一张坐标纸上一已作出圆及点,折叠此纸片,使与圆周上某点重合,每次折叠都会留下折痕,设折痕与直线的交点为,令点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程;
(2)若直线与轨迹交于两个不同的点,且直线与以为直径的圆相切,若,求的面积的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=loga()(0<a<1,b>0)为奇函数,当x∈(﹣1,a]时,函数y=f(x)的值域是(﹣∞,1].
(1)确定b的值;
(2)证明函数y=f(x)在定义域上单调递增,并求a的值;
(3)若对于任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)>0恒成立,求k的取值范围.
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