Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：对，都有.

Answer 1

【答案】(1) 单调增区间为，单调减区间为.(2) ；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)求解导函数有.结合函数的定义域和导函数与原函数之间的关系可得的单调增区间为，单调减区间为.

(2)二次求导可得.分类讨论：

①当时， 对一切恒成立.

②当时， ， 对一切不恒成立.

③当时， 对一切不恒成立.

综上可得实数的取值范围是.

(3)结合(2)的结论，取，有时， .则.结合对数的运算法则即可证得题中的不等式.

试题解析：

（1）当时，函数，

定义域为， .

令可得，令可得.

所以的单调增区间为，单调减区间为.

（2），

.

①当时， ， .

故在区间上递增，

所以，从而在区间上递增.

所以对一切恒成立.

②当时， ，

.

当时， ，

当时， .

所以时， .

而，故.

所以当时， ， 递减，

由，知，此时对一切不恒成立.

③当时， ，

在区间上递减，有，

从而在区间上递减，有.

此时对一切不恒成立.

综上，实数的取值范围是.

（3）由（2）可知，取，当时，有.

取，有，即.

所以

，

所以.