【题目】在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,
,
,
平面
,
,
.
(1)求证: 平面
;
(2)求直线与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)直线与平面
所成角的余弦值为
.
【解析】试题分析:(1)要证线面平行,先找线线平行,先证平面AED⊥平面ABCD,做过E作EG⊥AD于G,则EG⊥平面ABCD,∴FC∥EG,进而得到线面平行;(2)建系,求面的法向量和线的方向向量,根据向量夹角得到线面角,即可。
解析:
(Ⅰ)证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,
∴BC=DC,∠ADC=∠BCD=120°,∴∠CDB=30°,
∴∠ADB=90°,即BD⊥AD.
又AE⊥BD, =A,∴BD⊥平面AED,
又BD平面ABCD,∴平面AED⊥平面ABCD.
如图4,过E作EG⊥AD于G,则EG⊥平面ABCD,
又FC⊥平面ABCD,∴FC∥EG.
又EG平面AED,FC
平面AED,
∴FC∥平面AED.
(Ⅱ)解:如图5,连接AC,由(Ⅰ)知AC⊥BC,
∵FC⊥平面ABCD,
∴CA,CB,CF两两垂直.
以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz.
设BC,则AC
,AB
,
,
,
,
,∴
,
,
.
设平面BDF的法向量为,
则 即
令,则
,
,则
.
设直线AF与平面BDF所成角为,则
,
故直线AF与平面BDF所成角的余弦值为.
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【题目】平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+
=1 (a>b>0)的离心率是
,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证:点M在定直线上;
②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
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【题目】已知四边形 的四个顶点在椭圆
:
上,对角线
所在直线的斜率为
,且
,
.
(1)当点为椭圆
的上顶点时,求
所在直线方程;
(2)求四边形面积的最大值.
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【题目】给定椭圆,称圆
为椭圆
的“伴随圆”.已知点
是椭圆
上的点
(1)若过点的直线
与椭圆
有且只有一个公共点,求
被椭圆
的伴随圆
所截得的弦长:
(2)是椭圆
上的两点,设
是直线
的斜率,且满足
,试问:直线
是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过定点,试说明理由。
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别是
、
,离心率
,过点
的直线交椭圆
于
、
两点,
的周长为16.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为原点,圆
:
(
)与椭圆
交于
、
两点,点
为椭圆
上一动点,若直线
、
与
轴分别交于
、
两点,求证:
为定值.
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【题目】如图,某大型水上乐园内有一块矩形场地米,
米,以
为直径的半圆
和半圆
(半圆在矩形
内部)为两个半圆形水上主题乐园,
都建有围墙,游客只能从线段
处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着
修建不锈钢护栏,沿着线段
修建该主题乐园大门并设置检票口,其中
分别为
上的动点,
,且线段
与线段
在圆心
和
连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为
元/米,直线部门的平均修建费用为
元/米.
(1)若米,则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米?
(2)试确定点的位置,使得修建费用最低.
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