Question

【题目】已知在上的函数, ，

其中,设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）用表示，并求的最大值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）, 的最大值为.

【解析】试题分析：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b值；
（2）利用（1）类似的方法，利用a的表达式来表示b，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得．

试题解析：

（Ⅰ）设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点处的切线相同,由题意知 ，

∴由得， 或（舍去）,即有

（Ⅱ）设y=f(x)与y=g(x) (x>0)在公共点处的切线相同 ,由题意知，

∴由得， 或（舍去）

即有, 令 (t>0)，

则，于是当2t(1-3lnt)>0，即时， ；

当2t(1-3lnt)<0，即时， ，故h(t)在的最大值为，

故的最大值为.