Question

7．已知函数$f（x）=\frac{lnx}{x}-{x^2}+2ex-k$有且只有一个零点，则k的值为（　　）

• A． $e+\frac{1}{e^2}$
• B． $e+\frac{1}{e}$
• C． ${e^2}+\frac{1}{e^2}$
• D． ${e^2}+\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 由题意求导f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-2x+2e，求出单调区间，确定函数的单调性及取值情况，解方程可得k．

解答 解：由f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex-k，
可得f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-2x+2e=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x），
故当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）→-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）→-∞；
故若使函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex-k有且只有一个零点，
则f（e）=0，
即$\frac{1}{e}$-e²+2e²-k=0，
即k=$\frac{1}{e}$+e²，
故选：D．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数零点的判断与应用，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．