Question

15．等差数列{a_n}中，S_n为它的前n项和，且S₁₀＜S₁₁，S₁₁＞S₁₂，则：①此数列的公差d＜0； ②S₁₂一定大于S₇； ③a₁₁是各项中最大的一项； ④S₁₁一定是S_n的最大项，其中正确命题的序号是①②④．

Answer 1

分析 对于命题①，由已知条件得到a₁₁＞0，a₁₂＜0再由d=a₁₂-a₁₁判断；
对于命题②，S₁₂与S₇作差后由等差数列的性质转化为含a₁₀的代数式判断；
对于命题③，直接由首项和a₁₁作差判断；
对于命题④，利用11项大于0，从第12项起小于0判断．

解答 解：∵S₁₀＜S₁₁，∴a₁₁=S₁₁-S₁₀＞0，
∵S₁₁＞S₁₂，∴a₁₂=S₁₂-S₁₁＜0，
∵a₁₁＞0，a₁₂＜0，∴d=a₁₂-a₁₁＜0，命题①正确；
S₁₂-S₇=a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂=5a₁₀＞0，∴S₁₂＞S₇，命题②正确；
∵a₁-a₁₁=-10d＞0，命题③不正确；
该数列前11项为正值，即前11项的和最大，命题④正确．
∴正确的命题为①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了等差数列的性质，考查了命题真假的判断，是中档题．