Question

19．已知点P是双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与圆C₂：x²+y²=a²+b²的一个交点，且∠PF₁F₂=60°，其中F₁、F₂分别为双曲线C₁的左、右焦点，则双曲线C₁的离心率为1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得F₁（-c，0），F₂（c，0），可设P为第一象限内的交点，由直径所对的圆周角为直角，可得∠F₁PF₂=90°，在直角三角形PF₁F₂中，运用锐角三角函数的定义，结合双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得F₁（-c，0），F₂（c，0），
可设P为第一象限内的交点，
由直径所对的圆周角为直角，可得∠F₁PF₂=90°，
在直角三角形PF₁F₂中，|PF₁|=|F₁F₂|cos60°=c，
|PF₂|=|F₁F₂|sin60°=$\sqrt{3}$c，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有（$\sqrt{3}$-1）c=2a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=1+$\sqrt{3}$．
故答案为：1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的连线的求法，注意运用直径所对的圆周角为直角和三角函数的定义，以及双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．