Question

10．若函数f（x）=lg[sin（πx）•sin（2πx）•sin（3πx）•sin（4πx）]的定义域与区间[0，1]的交集由n个开区间组成，则n的值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由题意可得sin（πx）•sin（2πx）•sin（3πx）•sin（4πx）＞0，而当x∈（0，1）时，sin（πx）＞0恒成立；当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，sin（2πx）＞0，当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，sin（2πx）＜0，问题变成了求在0＜x＜$\frac{1}{2}$时，sin（3πx）与sin（4πx）同号得区间，及$\frac{1}{2}$＜x＜1时，sin（3πx）与sin（4πx）异号的区间．然后由三角函数的象限符号求解即可．

解答 解：要使原函数有意义，则sin（πx）•sin（2πx）•sin（3πx）•sin（4πx）＞0，
当x∈（0，1）时，sin（πx）＞0恒成立；
即sin（2πx）•sin（3πx）•sin（4πx）＞0．
若sin（2πx）＞0，得2kπ＜2πx＜π+2kπ，即k＜x＜$\frac{1}{2}+k$，
取k=0，得0＜x＜$\frac{1}{2}$；
若sin（2πx）＜0，得π+2kπ＜2πx＜2π+2kπ，即$\frac{1}{2}+k$＜x＜1+k，
取k=0，得$\frac{1}{2}$＜x＜1；
∴只需sin（3πx）与sin（4πx）在（0，$\frac{1}{2}$）上同号，在（$\frac{1}{2}，1$）上异号．
若sin（3πx）＞0，得2kπ＜3πx＜π+2kπ，即$\frac{2k}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}k$，
取k=0，得0＜x＜$\frac{1}{3}$．取k=1，得$\frac{2}{3}＜x＜1$；
若sin（3πx）＜0，得π+2kπ＜3πx＜2π+2kπ，即$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}k$＜x＜$\frac{2}{3}+\frac{2}{3}k$，
取k=0，得$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{2}{3}$；
若sin（4πx）＞0，得2kπ＜4πx＜π+2kπ，即$\frac{k}{2}$＜x＜$\frac{1}{4}+\frac{k}{2}$，
取k=0，得0＜x＜$\frac{1}{4}$．取k=1，得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}$；
若sin（4πx）＜0，得π+2kπ＜4πx＜2π+2kπ，即$\frac{1}{4}$+$\frac{k}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}+\frac{k}{2}$，
取k=0，得$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{1}{2}$．取k=1，得$\frac{3}{4}＜x＜1$．
∴满足sin（πx）•sin（2πx）•sin（3πx）•sin（4πx）＞0且在[0，1]内的区间为：
（0，$\frac{1}{4}$），（$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}$），（$\frac{3}{4}，1$），共4个．
∴n的值为4．
故选：C．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了三角函数的象限符号，是中档题．