Question

18．定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）-f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，称T为函数f（x）的广义周期，称M为周距
（1）证明函数f（x）=x²不是广义周期函数；
（2）试判断函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）（k、A、ω、φ为常数，k≠0，A＞0，ω＞0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）假设满足题意，由广义周期的定义推理可得T=M=0的矛盾；
（2）函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）是广义周期函数，且$T=\frac{2π}{ω}，M=\frac{2kπ}{ω}$，由广义周期的定义证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x²的定义域为R，
由广义周期的定义可得f（x+T）-f（x）=（x+T）²-x²
=2Tx+T²=M对x∈R恒成立，比较系数可得$\left\{\begin{array}{l}2T=0\\{T^2}=M\end{array}\right.$，
解得T=M=0，这与M，T均为非零常数矛盾，
故f（x）=x²不是广义周期函数；
（2）函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）是广义周期函数，且$T=\frac{2π}{ω}，M=\frac{2kπ}{ω}$．证明如下：
∵$f（{x+\frac{2π}{ω}}）-f（x）$=$k（{x+\frac{2π}{ω}}）+b+Asin[{ω（{x+\frac{2π}{ω}}）+φ}]-[{kx+b+Asin（{ωx+φ}）}]=\frac{2kπ}{ω}$（非零常数），
由广义周期的定义可得．

点评 本题考查函数的周期性，涉及新定义和三角函数的知识，属中档题．