Question

9．已知向量$\vec a=（\sqrt{3}sinx，\;\;2{cos^2}x-1），\;\;\overrightarrow b=（2cosx，\;\;1）$，且函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函数f（x）在区间$[0，\;\;\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值；
（2）求函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）直接利用数量积的坐标运算求得f（x），然后利用辅助角公式化简，再由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值；
（2）直接利用相位在正弦函数的减区间内列不等式求得x的范围，则函数f（x）的单调减区间可求．

解答 解：（1）∵$\vec a=（\sqrt{3}sinx，\;\;2{cos^2}x-1），\;\;\overrightarrow b=（2cosx，\;\;1）$，
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$2\sqrt{3}sinxcosx+2co{s}^{2}x-1$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∵x∈$[0，\;\;\frac{π}{2}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴$-\frac{1}{2}≤f（x）≤1$，
∴f（x）的最大值为2，最小值为-1；
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3}{2}π+2kπ（k∈Z）$，
得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2}{3}π+kπ，（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递减区间为$[\frac{π}{6}+kπ，\;\;\frac{2}{3}π+kπ]（k∈Z）$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，考查三角函数的图象和性质，是中档题．