Question

17．函数y=$\frac{{{x^2}+2x+2}}{x+1}$的值域是（　　）

• A． {y|y＜-2或y＞2}
• B． {y|y≤-2或y≥2}
• C． {y|-2≤y≤2}
• D． $\left\{{y|y≤-2\sqrt{2}或y≥2\sqrt{2}}\right\}$

Answer 1

分析 把已知函数式变形，然后分类利用基本不等式求得函数的最值，则函数的值域可求．

解答 解：y=$\frac{{{x^2}+2x+2}}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}+1}{x+1}=（x+1）+\frac{1}{x+1}$，
当x+1＞0时，有$y=（x+1）+\frac{1}{x+1}≥2\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}=2$，
当且仅当x+1=$\frac{1}{x+1}$，即x+1=1，也就是x=0时上式等号成立；
当x+1＜0时，有y=-[-（x+1）+$\frac{1}{-（x+1）}$]$≤-\sqrt{[-（x+1）]•\frac{1}{-（x+1）}}=-2$，
当且仅当-（x+1）=-$\frac{1}{x+1}$，即x+1=-1，也就是x=-2时上式等号成立．
∴函数y=$\frac{{{x^2}+2x+2}}{x+1}$的值域是{y|y≤-2或y≥2}．
故选：B．

点评 本题考查函数值域的求法，训练了利用基本不等式求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．