Question

5．己知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为2，过点P（0，m）（m＞0）斜率为1的直线与双曲线C交于A、B两点，且$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-2
（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）如果Q为双曲线C右支上动点F为双曲线的右焦点，在x轴的负半釉上是否存在定点M便得∠QFM=2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线的方程y=x+m代入双曲线的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，求得A，B的坐标（用m表示），计算即可得到a，b，c的值，进而得到双曲线的方程；
（Ⅱ）在x轴的负半釉上假设存在定点M便得∠QFM=2∠QMF．考虑当QF⊥x轴时，直线QM的斜率为1，求得Q的坐标和M的坐标，猜想定点M（-1，0），再由直线的斜率公式和正切的二倍角公式，化简计算即可得到证明．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=2，可得c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线的方程y=x+m代入双曲线的方程，可得
（b²-a²）x²-2a²mx-a²m²-a²b²=0，
x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}m}{{b}^{2}-{a}^{2}}$=m，
x₁x₂=-$\frac{{a}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{m}^{2}+3{a}^{2}}{2}$，
又$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-2，
可得-x₁=2x₂，x₁x₂+y₁y₂=-2，
即有x₁=2m，x₂=-m，y₁=3m，y₂=0，
可得-2m²=-2，解得m=1，
由m²+3a²=-2x₁x₂=4m²，解得a=m=1，
c=2，b=$\sqrt{3}$，
可得双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）在x轴的负半釉上假设存在定点M便得∠QFM=2∠QMF．
当QF⊥x轴时，直线QM的斜率为1，且Q（2，3），
由F（2，0），设M（m，0），可得$\frac{3}{2-m}$=1，
解得m=-1，猜想定点M（-1，0），
设Q（s，t），即有3s²-t²=3，
tan∠QMF=$\frac{t}{s+1}$，tan2∠QMF=$\frac{2•\frac{t}{s+1}}{1-\frac{{t}^{2}}{（s+1）^{2}}}$=$\frac{2t（s+1）}{（s+1）^{2}-{t}^{2}}$
=$\frac{2t（s+1）}{（s+1）^{2}-3{s}^{2}+3}$=$\frac{2t（s+1）}{-2（s-2）（s+1）}$=$\frac{t}{2-s}$，
而tan∠QFM=-$\frac{t}{s-2}$，
即有tan∠QFM=tan2∠QMF，即有∠QFM=2∠QMF．
故存在定点M（-1，0），便得∠QFM=2∠QMF．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用直线方程和双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，同时考查存在性问题的解法，考查特殊位置猜想，然后验证的思想方法，属于中档题．