Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，当n≥2时，S_n=2S_n-1+1．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，若T_n＜m对任意n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据前n项和S_n=2S_n-1+1，写出当n≥3，S_n-1=2S_n-2+1，两式相减，a_n=2a_n-1，数列{a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
（Ⅱ）写出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，T_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜2，求得实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当n≥2时，S_n=2S_n-1+1①，
a₁=1，
∴a₂=2，a₃=4，
n≥3时，S_n-1=2S_n-2+1②
①-②得：a_n=2a_n-1，
∵$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$，
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
a_n=2^n-1；
（Ⅱ）数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为为公比的等比数列，
T_n=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
T_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜2，
T_n＜m对任意n∈N^*恒成立，
m≥2，
∴m的取值范围[2，+∞）．

点评 本题考查数列求通项公式及前n项和公式，利用等比数列的前n项和公式求其取值范围，属于中档题．