Question

16．已知函数f（x）=2cosπx•cos²$\frac{φ}{2}$+sin[（x+1）π]•sinφ-cosπx（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求φ的值及图中x₀的值：
（2）将函数f（x）的图象上的各点向左平移$\frac{1}{6}$个单位长度．再将所得图象上各点的横坐标不变．纵坐标伸长到原来的$\sqrt{3}$倍．得到函数g（x）的图象．求函数g（x）在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知及三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=cos（πx+φ），又图象过点（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，由图象可得：πx₀+$\frac{π}{6}$=2π-$\frac{π}{6}$，即可解得x₀的值．
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=$\sqrt{3}$cos（πx+$\frac{π}{3}$），根据x的范围求得πx+$\frac{π}{3}$的范围，从而求得g（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos（πx）•cos²$\frac{φ}{2}$+sin[（x+1）π]•sinφ-cos（πx）
=cos（πx）•（1+cosφ）-sin（πx）•sinφ-cos（πx）
=cos（πx）•cosφ-sin（πx）•sinφ
=cos（πx+φ），
又由函数图象可知，图象过点（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=cosφ，
∴结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴由图象可得：cos（πx₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：πx₀+$\frac{π}{6}$=2π-$\frac{π}{6}$，解得：x₀=$\frac{5}{3}$．
（2）∵f（x）=cos（πx+$\frac{π}{6}$），
∴将函数f（x）的图象上的各点向左平移$\frac{1}{6}$个单位长度，可得函数y=cos[π（x+$\frac{1}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（πx+$\frac{π}{3}$）的图象，
再将所得图象上各点的横坐标不变．纵坐标伸长到原来的$\sqrt{3}$倍，可得到函数g（x）=$\sqrt{3}$cos（πx+$\frac{π}{3}$）的图象，
∵x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]，
∴πx+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴cos（πx+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，可得：g（x）=$\sqrt{3}$cos（πx+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．
∴函数g（x）在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]上的最大值为$\sqrt{3}$，最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了计算能力和数形结合思想的应用，其中求φ的值是解题的关键，属于中档题．