Question

4．已知函数f（x）=3sinx+mcosx（m＜0），当x=α时，f（x）取得最大值5，则tanα的值为-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 化简函数f（x）=3sinx+mcosx为一个角的一个三角函数的形式，由已知可得$\sqrt{9+{m}^{2}}$sin（α+θ）=5，解得m，α=2kπ+$\frac{π}{2}$-θ，k∈Z，利用诱导公式即可解得tanα的值．

解答 解：∵函数f（x）=3sinx+mcosx=$\sqrt{9+{m}^{2}}$sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{m}{3}$，
∵当x=α时，f（x）取得最大值5，可得：$\sqrt{9+{m}^{2}}$sin（α+θ）=5，
∴$\sqrt{9+{m}^{2}}$=5，m＜0，解得：m=-4，
∴α+θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：α=2kπ+$\frac{π}{2}$-θ，k∈Z，
∴tanα=tan（$\frac{π}{2}$-θ）=cotθ=$\frac{3}{m}$=-$\frac{3}{4}$．
故答案为：-$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的最值的应用，考查了诱导公式的应用，属于基础题．