Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（m，cos$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（sin$\frac{x}{2}$，n），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，函数f（x）的图象过点（$\frac{π}{2}$，4）和点（-$\frac{π}{2}$，0）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用“五点法”作出函数f（x）在一个周期内的图象．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的公式求出函数f（x）的表达式，结合函数过点，建立方程组关系求出m，n的值，利用三角函数辅助角公式即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用“五点法”求出函数在一个周期内的对应坐标即可作出函数f（x）在一个周期内的图象．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=msin$\frac{x}{2}$+ncos$\frac{x}{2}$，∵函数f（x）的图象过点（$\frac{π}{2}$，4）和点（-$\frac{π}{2}$，0），π
∴msin$\frac{π}{4}$+ncos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m+$\frac{\sqrt{2}}{2}$n=4，
-msin$\frac{π}{4}$+ncos$\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m+$\frac{\sqrt{2}}{2}$n=0，
由两式得m=2$\sqrt{2}$，n=2$\sqrt{2}$，
即f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$+2$\sqrt{2}$cos$\frac{x}{2}$=4（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos$\frac{x}{2}$）=4sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）．
（2）列表：

$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$
y	0	4	0	-4	0

作图

点评 本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，以及三角函数解析式的求解，利用向量数量积的坐标公式以及辅助角公式是解决本题的关键．