Question

14．已知函数f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域，并求出取最小值时的x值；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数的周期性及其求法即可求解，
（2）令2x+$\frac{π}{4}$看成整体，写出正弦函数的单调递增区间，求出x的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π．
可得T=$\frac{2π}{ω}$，解得：ω=1，
∴函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$），
x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为：[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
当x=$\frac{π}{2}$时取最小值；
（2）当$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，即$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$时函数单调递增，
f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{3π}{8}$，$kπ+\frac{π}{8}$]（k∈Z）．

点评 本题考查根据周期求ω的值，并求三角函数的值域和单调区间，属于基础题．