Question

19．若直线2ax+by-1=0（a＞-1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则$\frac{1}{a+1}$+$\frac{2}{b}$的最小值为$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为$（\frac{1}{2}，1）$，可得：a+b=1．（a＞-1，b＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为$（\frac{1}{2}，1）$，
∴$2a×\frac{1}{2}$+b-1=0，化为：a+b=1（a＞-1，b＞0）．
∴$\frac{1}{a+1}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+1+b）$（\frac{1}{a+1}+\frac{2}{b}）$=$\frac{1}{2}$$（3+\frac{b}{a+1}+\frac{2（a+1）}{b}）$≥$\frac{1}{2}$$（3+2\sqrt{\frac{b}{a+1}•\frac{2（a+1）}{b}}）$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，当且仅当a=2$\sqrt{2}$-3，b=4-2$\sqrt{2}$时取等号．
故答案为：$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．