Question

6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，且2T_n=4S_n-（n²+n），n∈N^*．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）设b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}+1}$，比较b₁+b₂+…+b_n与3的大小．

Answer 1

分析 （1）S_n=T_n-T_n-1，从而S_n-1=2S_n-2+（n-1）．故S_n-S_n-1=2（S_n-1-S_n-2）+1，即a_n=2a_n-1+1．显然有a_n+1=2（a_n-1+1）；
（2）利用错位相减法，放缩法即可比较．

解答 证明：（1）∵2T_n=4S_n-（n²+n），
∴2T₁=4S₁-（1²+1），
即a₁=1．
S_n=T_n-T_n-1
=2S_n-$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-2S_n-1+$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$
整理，得S_n=2S_n+n，
从而S_n-1=2S_n-2+（n-1）．
故S_n-S_n-1=2（S_n-1-S_n-2）+1，
即a_n=2a_n-1+1．
显然有a_n+1=2（a_n-1+1）．
所以数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（Ⅰ）知b_n=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
则S_n=1+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+$\frac{5}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，①，
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，②，
则①-②得$\frac{1}{2}$S_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=1+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$＜1+$\frac{1}{2}$，
故S_n＜3，
所以b₁+b₂+…+b_n＜3

点评 本题是数列与函数、不等式相结合的综合题，主要考查错位相减法和放缩法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于中档题．