Question

18．若（5x+4）¹⁰=a₀+a₁x+…+a₉x⁹+a₁₀x¹⁰，则a₁-a₂+a₃-a₄+…+a₉-a₁₀=4¹⁰-1．

Answer 1

分析 在给出的二项式中分别取x=0、1、-1求得a₀、a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₉+a₁₀、a₀-a₁+a₂-a₃+a₄+…-a₉+a₁₀的值，进一步求出-（a₂+a₄+…+a₁₀）与a₁+a₃+…+a₉的值，作和求得a₁-a₂+a₃-a₄+…+a₉-a₁₀的值．

解答 解：在（5x+4）¹⁰=a₀+a₁x+…+a₉x⁹+a₁₀x¹⁰中，
取x=0，得${a}_{0}={4}^{10}$，
取x=1，得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₉+a₁₀=9¹⁰ ①，
取x=-1，得a₀-a₁+a₂-a₃+a₄+…-a₉+a₁₀=1 ②，
①②两式作和得，${a}_{0}+{a}_{2}+…+{a}_{10}=\frac{{9}^{10}+1}{2}$，
∴${a}_{2}+{a}_{4}+…+{a}_{10}=\frac{{9}^{10}+1}{2}-{4}^{10}$，
∴-（a₂+a₄+…+a₁₀）=${4}^{10}-\frac{{9}^{10}+1}{2}$，
①②两式作差得，${a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{9}=\frac{{9}^{10}-1}{2}$，
∴a₁-a₂+a₃-a₄+…+a₉-a₁₀=$\frac{{9}^{10}-1}{2}-\frac{{9}^{10}+1}{2}+{4}^{10}={4}^{10}-1$．
故答案为：4¹⁰-1．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．