Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则$\overrightarrow{c}$=$-\frac{1}{8}\overrightarrow{a}$$+\frac{5}{8}\overrightarrow{b}$（用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示）．

Answer 1

分析 可设$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$，进行向量数乘运算便可得出$\overrightarrow{c}=（2x+2y）\overrightarrow{{e}_{1}}+（3x-y）\overrightarrow{{e}_{2}}$，这样根据平面向量基本定理便可得出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y，从而可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{c}$．

解答 解：设$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}=x（2\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）$$+y（2\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}）$=$（2x+2y）\overrightarrow{{e}_{1}}+（3x-y）\overrightarrow{{e}_{2}}$；
又$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∴由平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=1}\\{3x-y=-1}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{8}}\\{y=\frac{5}{8}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{c}=-\frac{1}{8}\overrightarrow{a}+\frac{5}{8}\overrightarrow{b}$．
故答案为：$-\frac{1}{8}\overrightarrow{a}+\frac{5}{8}\overrightarrow{b}$．

点评 考查向量的数乘运算，以及平面向量基本定理．