Question

4．在△ABC中，已知边a=2，b=2$\sqrt{3}$，且$\frac{a+b}{sinA+sinB}$=4，求边c的长．

Answer 1

分析 由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{a+b}{sinA+sinB}$=4，由a=2、b=2$\sqrt{3}$求出sinA、sinB，根据边角关系和特殊角的正弦值求出A、B，利用内角和定理求出C，即可求出边c的值．

解答 解：由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{a+b}{sinA+sinB}$=4，
因为a=2，b=2$\sqrt{3}$，
所以sinA=$\frac{1}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又a＜b，则A=$\frac{π}{6}$，所以B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
当B=$\frac{π}{3}$时，C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=4；
当B=$\frac{2π}{3}$时，C=π-A-B=$\frac{π}{6}$，则c=a=2，
所以边c的长是2或4．

点评 本题考查正弦定理，用内角和定理，以及边角关系和特殊角的正弦值，熟练掌握定理是解题的关键．