Question

13．已知点A（1，0），B（0，1），C（2sin（θ-$\frac{π}{4}$），cos（$θ-\frac{π}{4}$）），且|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|．
（1）求tan（$θ-\frac{π}{4}$）的值；
（2）若θ-$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两点间的距离公式求得tan（$θ-\frac{π}{4}$）的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（θ-$\frac{π}{4}$）和cos（θ-$\frac{π}{4}$）的值，再利用两角和差的余弦公式求得cosθ=cos[（θ-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=的值．

解答 解：（1）∵点A（1，0），B（0，1），C（2sin（θ-$\frac{π}{4}$），cos（$θ-\frac{π}{4}$）），且|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
∴$\sqrt{{[2sin（θ-\frac{π}{4}）-1]}^{2}{+cos}^{2}（θ-\frac{π}{4}）}$=$\sqrt{{（2sin（θ-\frac{π}{4}）}^{2}+{[cos（θ-\frac{π}{4}）-1]}^{2}}$，
化简可得2sin（θ-$\frac{π}{4}$）=cos（θ-$\frac{π}{4}$），
∴tan（$θ-\frac{π}{4}$）=$\frac{sin（θ-\frac{π}{4}）}{cos（θ-\frac{π}{4}）}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵θ-$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），由（1）的结果结合${sin}^{2}（θ-\frac{π}{4}）$+${cos}^{2}（θ-\frac{π}{4}）$=1，
求得sin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cosθ=cos[（θ-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（θ-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-sin（θ-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两点间的距离公式，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．