Question

2．已知O为直角坐标原点，点A（2，3），点P为平面区域$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{x+y≤2}\\{y≥m（x-2）}\end{array}\right.$（m＞0）内的一动点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值为-6，则m=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{4}{9}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据向量数量积的公式求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=2x+3y，结合$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值为-6，得到y=-$\frac{2}{3}$x-2，作出对应的直线方程，求出交点坐标进行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=2x+3y，
∴设z=2x+3y，得y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值为-6，
∴此时y=-$\frac{2}{3}$x-2，
作出y=-$\frac{2}{3}$x-2则y=-$\frac{2}{3}$x-2与x=-1相交为B时，
此时B（-1，-$\frac{4}{3}$），此时B也在y=m（x-2）上，
则-3m=-$\frac{4}{3}$，得m=$\frac{4}{9}$，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数量积的公式求出目标函数的解析式，先作出目标函数的直线，求出交点坐标是解决本题的关键．