Question

7．已知两点A（0，-1），B（0，1），P（x，y）是曲线C上一动点，直线PA、PB斜率的平方差为1．
（1）求曲线C的方程；
（2）E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）是曲线C上不同的两点，Q（2，3）是线段EF的中点，线段EF的垂直平分线交曲线C于G，H两点，问E，F，G，H是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求轨迹方程；
（2）将E，F的坐标代入抛物线的方程，相减结合中点坐标公式，可得直线EF的斜率，即有直线EF的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，再由线段EF的垂直平分线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，求得G，H的中点，计算|ME|，|MG|，即可判断四点共圆，求得圆的方程．

解答 解：（1）由题意可得k_PA²-k_PB²=1，
即有（$\frac{y+1}{x}$）²-（$\frac{y-1}{x}$）²=1，
化简可得x²=4y，
即有曲线C的方程为x²=4y（x≠0）；
（2）由题意可得x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，
两式相减可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=4（y₁-y₂），
由x₁+x₂=4，可得k_EF=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
可设直线EF的方程为y-3=x-2，即y=x+1，
代入抛物线的方程，可得x²-4x-4=0，
可得x₁+x₂=4，x₁x₂=-4，
|EF|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{16+16}$=8，
由线段EF的垂直平分线方程：y-3=-（x-2），即y=5-x，
代入抛物线的方程，可得x²+4x-20=0，
可得GH的中点为M（-2，7），|GH|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{16+80}$=8$\sqrt{3}$，
由垂直平分线的性质可得|ME|=|MF|，
|MQ|=$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，可得|ME|=$\sqrt{16+32}$=4$\sqrt{3}$，
且|MG|=|MH|=4$\sqrt{3}$，
即有四点E，F，G，H共圆，圆心为M（-2，7），
半径为4$\sqrt{3}$，方程为（x+2）²+（y-7）²=48．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用斜率公式，考查四点共圆的方法，注意运用联立直线和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．